Wat Zijn Kwadratische Vergelijkingen?

{h1}

Kwadratische vergelijkingen zijn fundamenteel voor algebra en zijn de wiskunde achter parabolen, projectielen, satellietschotels en de gulden snede.

In de wiskunde is een kwadratisch een type probleem dat zich bezighoudt met een variabele vermenigvuldigd met zichzelf - een bewerking die bekend staat als kwadrateren. Deze taal komt voort uit het gebied van een vierkant, zijnde de lengte van de zijde vermenigvuldigd met zichzelf. Het woord "kwadratisch" komt van Quadratum, het Latijnse woord voor vierkant.

Kwadratische vergelijkingen kenmerken een groot aantal verschijnselen in de echte wereld, zoals waar een raket zal landen, hoeveel er moet worden gerekend voor een product of hoe lang het duurt voordat een persoon op en neer gaat in een rivier. Vanwege hun grote verscheidenheid aan toepassingen, hebben quadratics een diepgaand historisch belang en waren ze fundamenteel voor de geschiedenis van de algebra.

Stromen water uit een fontein vormen parabolen.

Stromen water uit een fontein vormen parabolen.

Credits: Matej Kastelic Shutterstock

De parabool

De wiskunde van quadratuur is intrinsiek gerelateerd aan een U-vormige curve die bekend staat als een parabool. Misschien is het meest bekende voorbeeld een stroom water die uit een drinkfontein schiet. Er zijn nog veel meer voorbeelden, zoals de doorsnede van een satellietschotel of de kabels op een hangbrug.

De parabool was een belangrijke vorm voor vele wiskundigen uit het oude Griekenland, zoals Euclides uit Alexandrië (~ 300 voor Christus), Archimedes uit Syracuse (287-212 voor Christus), Apollonius uit Perga (262-190 v.Chr.) En Pappus uit Alexandrië (290 n.Chr. -350). Deze geleerden noteerden een aantal wiskundige eigenschappen die inherent zijn aan parabolen:

1. Een parabool is het stel punten dat even ver verwijderd is van een punt (a focus) en een regel (a directrice). De juiste naam focus is belangrijk in een aantal moderne technische toepassingen, omdat het het punt is op een parabolische schotel waar binnenkomende golven worden gereflecteerd, of het nu radiogolven zijn (zoals in een schotelantenne), licht (zoals in een concentrerende zonne-array) of geluid (zoals in een parabolische microfoon).

Elk punt op een parabool ligt op gelijke afstand van een bepaald punt en een lijn. Inkomende golven worden allemaal weerspiegeld in de focus.

Elk punt op een parabool ligt op gelijke afstand van een bepaald punt en een lijn. Inkomende golven worden allemaal weerspiegeld in de focus.

Krediet: Robert Coolman

2. Een parabool wordt ook gegenereerd door een kegel parallel aan de helling van de zijkanten van de kegel te snijden. Daarom worden parabolen in een reeks wiskundige curven genoemd kegelsneden. Bijna 2.000 jaar na deze ontdekking, in zijn onderzoek naar parabolische "brandende spiegels", begreep Leonardo da Vinci (1452-1519 na Christus) deze eigenschap en ontwikkelde een kompas dat parabolen kon tekenen.

Een vlak dat een kegel kruist maakt een parabool.

Een vlak dat een kegel kruist maakt een parabool.

Krediet: Robert Coolman

3. Veranderingen in de hoogte van een parabool zijn evenredig aan veranderingen in het kwadraat van de breedte van die parabool. Als een parabool bijvoorbeeld één eenheid hoog is en één eenheid breed is, dan is het negen (drie vierkante) eenheden hoog waar het drie eenheden breed is. Het is van deze eigenschap dat Apollonius het woord "parabool" afgeleid heeft parabole, het Griekse woord voor "toepassing", in die zin dat de breedte "wordt toegepast op" (vermenigvuldigd met) zelf. Dit is het eigendom dat de vorm van een parabool verbindt met het wiskundige concept van het kwadratische.

Hoewel parabolen alomtegenwoordig zijn, is het belangrijk op te merken dat ze verschillen van andere U-vormige bochten, zoals een hangende ketting (een kettinglijn), het pad van een kind op een schommel (een cirkelvormige boog), de boog van een rechtopstaand flitslicht dat op een muur schijnt (een hyperbool) of de top van het zijaanzicht van een veer (een sinusoïde). Deze andere curven hebben niet de eerder genoemde eigenschappen van parabolen.

Voor een parabool, één eenheid hoog waar hij één eenheid breed is, zal het negen (drie vierkante) eenheden hoog zijn waar het drie eenheden breed is. Deze parabool is naar rechts gedraaid, zodat deze op de pagina past.

Voor een parabool, één eenheid hoog waar hij één eenheid breed is, zal het negen (drie vierkante) eenheden hoog zijn waar het drie eenheden breed is. Deze parabool is naar rechts gedraaid, zodat deze op de pagina past.

Krediet: Robert Coolman

Projectiele beweging

Het verband tussen parabolen en de wiskunde van kwadraten was van groot belang in de 16e eeuw na Christus, toen geleerden van de Europese Renaissance merkten dat projectielen zoals kanonskogels en mortieren parabolisch reisden. Veel opmerkelijke wetenschappers uit die tijd, waaronder Leonardo da Vinci en Galileo Galilei (1564-1642), bestudeerden de projectielbeweging. Volgens Joseph W. Dauben, een professor in de geschiedenis aan de City University of New York (CUNY), omdat kunstenaars van de Renaissance geobsedeerd raakten door de realiteit accuraat af te beelden in kunst, Galileo werd op dezelfde manier geobsedeerd door de werkelijkheid nauwkeurig af te beelden gebruik makend van wiskunde. In 1638 publiceerde Galileo het eerste bewijs dat een uniforme versnelling van de zwaartekracht van de aarde ertoe zou leiden dat projectielen in parabolische banen zouden bewegen. Die wiskunde kon worden gebruikt om beweging te beschrijven was de sleutel tot de voortgang van de Wetenschappelijke Revolutie.

Grafieken van quadratici

Rond dezelfde tijd als Galileo publiceerde de Franse filosoof en wiskundige René Descartes (1596-1650) "La Géométrie" (1637), waarin de techniek werd beschreven van het in kaart brengen van algebraïsche vergelijkingen in een veld dat analytische meetkunde wordt genoemd. Een variatie op zijn methoden wordt nog steeds gebruikt. Zoals hieronder getoond, is de grafiek van een kwadratische vergelijking een parabool.

De grafiek van een kwadratische vergelijking vormt een parabool. De techniek van grafische weergave zoals deze vandaag wordt toegepast, is gebaseerd op het werk van René Descartes.

De grafiek van een kwadratische vergelijking vormt een parabool. De techniek van grafische weergave zoals deze vandaag wordt toegepast, is gebaseerd op het werk van René Descartes.

Krediet: Robert Coolman

Een oude kwadratische: de gulden snede

Om de kwadratische oplossingsmethode te begrijpen die wiskundigen, wetenschappers en ingenieurs vandaag gebruiken, laten we een oud wiskundig probleem onderzoeken: de gulden snede.Even terzijde, in George Georgeowowsky, een wiskundeprofessor aan de universiteit van Maine, wees George Markowsky in 1992 op het feit dat de historische waarde en esthetiek van de gulden snede vaak worden overschat, hoewel het waar is dat de ratio lijkt vaak in de getaltheorie (parallel met de & Fibonacci-reeks), geometrie (zoals in een icosaëder) en biologie (zoals de hoek tussen de bladeren van een plant).

Eén methode voor het bepalen van de gulden snede is als volgt:

Zoek een rechthoek met een lengte en breedte, zodat wanneer een vierkant aan een kant van de rechthoek wordt afgesneden, de overblijvende schrootrechthoek dezelfde vorm of "beeldverhouding" heeft als de oorspronkelijke rechthoek (maar geroteerd in een rechte hoek).

Terwijl de oude Grieken dit probleem met geometrie oplosten, gebruiken we algebra zoals het vandaag wordt onderwezen.

Met behulp van algebra om de waarde van de gulden snede te bepalen.

Met behulp van algebra om de waarde van de gulden snede te bepalen.

Krediet: Robert Coolman

Om te bepalen welke lengte en breedte de gulden snede zullen produceren, geven we de korte zijde een lengte van 1 en de lange zijde een lengte van x. Omdat de beeldverhouding wordt gedefinieerd als de lange zijde gedeeld door de korte zijde, is de beeldverhouding voor deze rechthoek x / 1, of gewoon x. Als we een vierkant van deze rechthoek afsnijden, heeft het resterende schroot een lange zijde van 1 en een lengte van de korte zijde van x - 1. De beeldverhouding is dus 1 / (x - 1). Inzicht in het feit dat de beeldverhouding voor de algehele rechthoek en de kleinere schrootrechthoek hetzelfde moet zijn, onze vergelijking is x = 1 / (x - 1).

De kwadratische formule

Hier is hoe studenten worden geïnstrueerd om deze vergelijking vandaag op te lossen. Begin met de vergelijking:

x = 1 / (x - 1)

Vermenigvuldig elke zijde van de vergelijking met de uitdrukking x - 1:

x · (x - 1) = 1

Verspreid de x over de uitdrukking x - 1:

x · x - x · 1 = 1

De variabele x vermenigvuldigd met zichzelf wordt geschreven als x². Dit kwadrateren is wat de vergelijking een kwadratisch maakt:

x² - x = 1

Nu trekken we 1 van elke kant van de vergelijking af om te bereiken wat bekend staat als de standaardvorm van een kwadratische vergelijking:

x² - x - 1 = 0

Gelijkwaardig kan dit worden geschreven als:

(1) · x² + (-1) · x + (-1) = 0

Wanneer dit wordt vergeleken met de vergelijking a · x² + b · x + c = 0, geeft het waarden van a = 1, b = -1 en c = -1. Deze waarden worden in de kwadratische formule gebruikt als

De moderne symbolische vorm van de kwadratische vergelijking.

De moderne symbolische vorm van de kwadratische vergelijking.

Krediet: Robert Coolman

Het symbool "±" betekent "plus of minus". Daarom geeft de kwadratische formule altijd twee oplossingen. Vervang een van deze waarden in de vergelijking x = 1 / (x - 1) om te testen of hierdoor beide kanten van de vergelijking hetzelfde worden. Het doet, wat betekent dat de methode werkte. Merk op dat deze waarden ook de plaatsen zijn waarop de grafiek van de standaardvorm van de vergelijking (y = x² - x - 1) de X-as kruist, wat is waar y = 0 (zie bovenstaande grafiek). In dit geval is de positieve waarde van grotere fysieke betekenis, omdat een rechthoek geen negatieve breedte mag hebben.

Oude Babylonische oorsprong

Om enig inzicht te bieden in waar de kwadratische formule vandaan komt en waarom het werkt, laten we een procedure onderzoeken die wordt gebruikt op een oud Babylonische kleitablet uit rond 1800 voor Christus. (Tablet BM 13901, British Museum). Volgens Jacques Sesiano in "An Introduction to the History of Algebra" (AMS, 2009) vertaalt het eerste probleem op deze tablet zich ongeveer in:

Ik heb het gebied en de zijkant van een vierkant toegevoegd om ¾ te krijgen. Wat is de kant van het plein?

Het probleem is in moderne notatie geschreven als:

x² + x = ¾

Het volgende is een hervertelling van de Babylonische en Arabische methoden zoals beschreven door Sesiano. Eerst zullen we de stappen die de Babyloniërs hebben gebruikt vertalen, maar ook vertalen naar symbolische taal die we vandaag in de algebra gebruiken. Volledig symbolische taal verscheen voor het eerst in Europa in de 17e eeuw. Omdat de Babyloniërs niet wisten van negatieve getallen, is het noodzakelijk om de vergelijking in de vorm x te schrijven2 + px = q, waarbij p = 1 en q = ¾. Bij het vergelijken van dit met de moderne standaard vorm bijl2& + bx + c = 0, het toont aan dat p = b / a en q = -c / a.

Een oude Babylonische procedure voor het oplossen van een bepaald soort kwadratisch. De vertaling naar moderne symbolische notatie verschijnt aan de rechterkant.

Een oude Babylonische procedure voor het oplossen van een bepaald soort kwadratisch. De vertaling naar moderne symbolische notatie verschijnt aan de rechterkant.

Krediet: Robert Coolman

Laten we nu afleiden en bewijzen dat de procedure correct is met behulp van geometrische methoden zoals Arabische wiskundigen dat deden in de negende eeuw na Christus. Het volgende is een variatie op een bewijs dat verscheen in de publicatie van het boek "Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing" door de Perzische wiskundige Al-Khwārizmī "in AD 820. Hoewel de Babyloniërs vrijwel zeker hun procedurele methoden uit de meetkunde hebben afgeleid, verschenen er geen schriftelijke verslagen van afleiding noch bewijzen van juistheid tot de Gouden Eeuw van de Islam, een periode van het midden van de zevende eeuw tot het midden van de 13e eeuw, toen Moslims regeerden over een rijk dat zich uitstrekte van Centraal-Azië tot Noord-Afrika en Iberië.

Geometrische demonstratie van waarom de oude Babylonische procedure werkt. Een variatie van dit bewijs werd voor het eerst vastgelegd in de negende eeuw na Christus. Arabië en volledig symbolische taal verschenen voor het eerst in het 17e eeuws Europa.

Geometrische demonstratie van waarom de oude Babylonische procedure werkt. Een variatie van dit bewijs werd voor het eerst vastgelegd in de negende eeuw na Christus. Arabië en volledig symbolische taal verschenen voor het eerst in het 17e eeuws Europa.

Krediet: Robert Coolman

Als we p = b / a en q = -c / a "inpluggen", vereenvoudigt de formule inderdaad tot de moderne vorm van de kwadratische vergelijking zoals die vandaag wordt geleerd.

Verschillende vormen van de kwadratische formule werden door de eeuwen heen in Afro-Eurasia gebruikt. Procedurale versies werden gebruikt door de Babyloniërs en Egyptenaren rond de 19e eeuw voor Christus, de Chaldeeërs in de zevende eeuw voor Christus, de Grieken in de vierde eeuw voor Christus. en de Indianen in de vijfde eeuw A.D.Retorische en gesyncopeerde vormen werden ontwikkeld door de Arabieren in de IXe eeuw A.D., en gesyncopeerde en symbolische vormen door de Europeanen in de 11e eeuw A.D. De methoden die door elke beschaving werden gebruikt, vorderden naarmate meer werd geleerd over negatieve, irrationele, imaginaire en complexe aantallen.

Extra middelen

  • Drexel University heeft een leuke webpagina die de geschiedenis van grafische weergave illustreert.
  • Purplemath.com, een site voor wiskunde-lessen, legt kegels en parabolen uit.
  • MathWorld, een online wiskundelesource, bespreekt kwadratische vergelijkingen.


Video Supplement: Kwadratische vergelijkingen oplossen - WiskundeAcademie.




WordsSideKick.com
Alle Rechten Voorbehouden!
Reproductie Van Materialen Toegestaan Alleen Prostanovkoy Actieve Link Naar De Site WordsSideKick.com

© 2005–2019 WordsSideKick.com