Wat Is Algebra?

{h1}

Algebra is een tak van de wiskunde die te maken heeft met symbolen en de regels voor het manipuleren van die symbolen.

Algebra is een tak van de wiskunde die te maken heeft met symbolen en de regels voor het manipuleren van die symbolen. In elementaire algebra vertegenwoordigen die symbolen (tegenwoordig geschreven als Latijnse en Griekse letters) hoeveelheden zonder vaste waarden, ook wel variabelen genoemd. Net zoals zinnen verhoudingen tussen specifieke woorden beschrijven, beschrijven vergelijkingen in relaties al relaties tussen variabelen. Neem het volgende voorbeeld:

Ik heb twee velden van in totaal 1.800 vierkante meter. Opbrengsten voor elk veld zijn ⅔ gallon graan per vierkante yard en ½ gallon per vierkante yard. Het eerste veld gaf 500 meer gallons dan de tweede. Wat zijn de gebieden van elk veld?

Het is een populair idee dat zulke problemen zijn uitgevonden om studenten te kwellen, en dit is misschien niet zo heel ver weg van de waarheid. Dit probleem werd vrijwel zeker geschreven om studenten te helpen wiskunde te begrijpen - maar wat er zo bijzonder aan is, is dat het bijna 4.000 jaar oud is! Volgens Jacques Sesiano in "An Introduction to the History of Algebra" (AMS, 2009), is dit probleem gebaseerd op een Babylonische kleitablet rond 1800 voor Christus. (BTW 8389, Museum van het Oude Nabije Oosten). Sinds deze wortels in het oude Mesopotamië staat de algebra centraal in vele vorderingen op het gebied van wetenschap, technologie en beschaving als geheel. De taal van de algebra heeft in de geschiedenis van alle beschavingen aanzienlijk gevarieerd om deze te erven (inclusief de onze). Vandaag schrijven we het probleem als volgt:

x + y = 1.800

⅔ ∙ x - ½ ∙ y = 500

De letters x en y vertegenwoordigen de gebieden van de velden. De eerste vergelijking wordt eenvoudigweg begrepen als "het optellen van de twee gebieden geeft een totale oppervlakte van 1800 vierkante meter." De tweede vergelijking is subtieler. Omdat x het gebied van het eerste veld is en het eerste veld een opbrengst van tweederde van een gallon per vierkante yard, betekent "⅔ ∙ x" - wat "tweederde keer x" betekent - de totale hoeveelheid geproduceerd graan door het eerste veld. Evenzo vertegenwoordigt "½ ∙ y" de totale hoeveelheid graan geproduceerd door het tweede veld. Omdat het eerste veld 500 liter meer graan gaf dan het tweede veld, is het verschil (vandaar aftrekken) tussen de korrel van het eerste veld (⅔ ∙ x) en de korrel van het tweede veld (½ ∙ y) (=) 500 gallons.

Het antwoord springt eruit

Natuurlijk is de kracht van algebra niet in coderingsverklaringen over de fysieke wereld. Computerwetenschapper en auteur Mark Jason Dominus schrijft op zijn blog The Universe of Discourse: "In de eerste fase vertaal je het probleem naar algebra en in de tweede fase manipuleer je de symbolen, bijna mechanisch, totdat het antwoord eruit springt alsof door magie. " Hoewel deze regels voor manipulatie afgeleid zijn van wiskundige principes, is de nieuwheid en het non-sequitur karakter van "het draaien van de zwengel" of "pluggen en chuggen" opgemerkt door vele studenten en professionals.

Hier zullen we dit probleem oplossen met behulp van technieken zoals ze vandaag worden onderwezen. En als een disclaimer hoeft de lezer niet elke specifieke stap te begrijpen om het belang van deze algemene techniek te begrijpen. Het is mijn bedoeling dat de historische betekenis en het feit dat we het probleem zonder giswerk kunnen oplossen onervaren lezers zal inspireren om meer over deze stappen te leren. Hier is de eerste vergelijking opnieuw:

x + y = 1.800

We lossen deze vergelijking voor y op door x af te trekken van elke kant van de vergelijking:

y = 1.800 - x

Nu brengen we de tweede vergelijking naar voren:

⅔ ∙ x - ½ ∙ y = 500

Aangezien we vonden dat "1.800 - x" gelijk is aan y, is dat mogelijk het geval gesubstitueerd in de tweede vergelijking:

⅔ ∙ x - ½ ∙ (1.800 - x) = 500

next, verdelen de negatieve helft (-½) over de uitdrukking "1.800 - x":

⅔ ∙ x + (-½ ∙ 1.800) + (-½ ∙ -x) = 500

Deze vereenvoudigt naar:

⅔ ∙ x - 900 + ½ ∙ x = 500

Voeg de twee breuken van x samen en voeg 900 toe elke kant van de vergelijking:

(7/6) ∙ x = 1.400

Nu, deel elke kant van de vergelijking door 7/6:

x = 1.200

Het eerste veld heeft dus een oppervlakte van 1200 vierkante meter. Deze waarde kan zijn gesubstitueerd in de eerste vergelijking om y te bepalen:

(1.200) + y = 1.800

Trek 1.200 van af elke kant van de vergelijking om op te lossen voor y:

y = 600

Het tweede veld heeft dus een oppervlakte van 600 vierkante meter.

Merk op hoe vaak we de techniek gebruiken om een ​​operatie te doen elke kant van een vergelijking. Deze oefening wordt het best begrepen als een vergelijking visualiseren als een schaal met een bekend gewicht aan de ene kant en een onbekend gewicht aan de andere. Als we aan elke kant dezelfde hoeveelheid gewicht toevoegen of aftrekken, blijft de schaal in evenwicht. Evenzo blijft de schaal in balans als we de gewichten gelijk vermenigvuldigen of delen.

Hoewel de techniek om vergelijkingen in evenwicht te houden vrijwel zeker door alle beschavingen werd gebruikt om de algebra te bevorderen, is het anachronistisch om dit oude Babylonische probleem op te lossen (zoals hierboven getoond), omdat deze techniek de laatste 1200 jaar alleen centraal staat in de algebra.

Voor de middeleeuwen

Algebraïsch denken onderging een substantiële hervorming na de vooruitgang door geleerden uit de Gouden Eeuw van de Islam.Tot nu toe beoefenden de beschavingen die de Babylonische wiskunde hadden geërft de algebra in geleidelijk uitgewerkte 'procedurele methoden'. Sesiano legt verder uit: Een "student moest een klein aantal [wiskundige] identiteiten onthouden, en de kunst om deze problemen op te lossen bestond toen in het transformeren van elk probleem in een standaardvorm en het berekenen van de oplossing." (Even terzijde, geleerden uit het oude Griekenland en India oefenden symbolische taal om te leren over de getaltheorie.)

Een Indiase wiskundige en astronoom, Aryabhata (476-550 na Christus), schreef een van de vroegst bekende boeken over wiskunde en astronomie, de "Aryabhatiya" genoemd door moderne geleerden. (Aryabhata heeft zijn werk niet zelf genoemd.) Het werk is "een kleine astronomische verhandeling die in 118 verzen is geschreven en een samenvatting geeft van de hindoe-wiskunde tot die tijd", volgens de Universiteit van St. Andrews, Schotland.

Hier is een voorbeeld van het schrijven van Aryabhata, in het Sanskriet. Dit is vers 2.24, "Hoeveelheden uit hun verschil en product":

Aryabhatiya, vers 2.24:

Aryabhatiya, vers 2.24: "Hoeveelheden uit hun verschil en product." Sanskriet, palmblad, 499 na Christus.

Krediet: Robert Coolman

Volgens Kripa Shankar Shukla in "Aryabhatiya of Aryabhata" (Indian National Science Academy of New Delhi, 1976), vertaalt dit vers zich ongeveer in:

2.24: Om twee hoeveelheden van hun verschil en product te bepalen, vermenigvuldigt u het product met vier, voegt u vervolgens het vierkant van het verschil toe en neemt u de vierkantswortel. Schrijf dit resultaat op in twee slots. Vergroot het eerste slot met het verschil en verlaag het tweede met het verschil. Snijd elke gleuf doormidden om de waarden van de twee grootheden te krijgen.

In de moderne algebraïsche notatie schrijven we het verschil en product als volgt:

x - y = A (verschil)

x ∙ y = B (product)

De procedure wordt dan als volgt geschreven:

x = [√ (4 ∙ B + A2) + A] / 2

y = [√ (4 ∙ B + A2) - A] / 2

Dit is een variatie op de kwadratische formule. Soortgelijke procedures verschijnen al in Babylonië en vertegenwoordigden de staat van de algebra (en de nauwe banden met de astronomie) gedurende meer dan 3500 jaar, in vele beschavingen: Assyriërs, in de 10e eeuw voor Christus; Chaldeeën, in de zevende eeuw voor Christus; Perzen, in de zesde eeuw voor Christus; Grieken, in de vierde eeuw voor Christus; Romeinen, in de eerste eeuw A.D.; en Indianen, in de vijfde eeuw A.D.

Hoewel dergelijke procedures vrijwel zeker in de geometrie zijn ontstaan, is het belangrijk op te merken dat de originele teksten van elke beschaving absoluut niets zeggen over hoe dergelijke procedures waren vastbeslotenen er zijn geen pogingen gedaan om laten zien bewijs van hun juistheid. Schriftelijke verslagen over deze problemen verschenen voor het eerst in de Middeleeuwen.

Algebra's adolescentie

De Gouden Eeuw van de Islam, een periode van het midden van de zevende eeuw tot het midden van de 13e eeuw, zag de verspreiding van Griekse en Indiase wiskunde naar de moslimwereld. In 820 na Christus publiceerde Al-Khwārizmī, een faculteitslid van het Huis van Wijsheid van Bagdad, 'Al-jabr wa'l muqabalah' of 'Het Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing'. Het is van "al-jabr" dat we ons woord "algebra" afleiden. Al-Khwārizmī ontwikkelde ook snelle methoden voor het vermenigvuldigen en delen van getallen, die bekend staan ​​als algoritmen - een verbastering van zijn naam. Hij suggereerde ook dat een kleine cirkel zou moeten worden gebruikt in berekeningen als er geen nummer verscheen in de tientallen plaats - dus uitvinden van de nul.

Voor de eerste keer sinds haar oprichting verlegde de praktijk van de algebra haar focus van toepassen procedurele methoden meer in de richting van middelen van bewijzen en afleiden dergelijke methoden met behulp van geometrie en de techniek van het uitvoeren van bewerkingen aan elke zijde van een vergelijking. Volgens Carl B. Boyer in "A History of Mathematics 3rd Ed. "(2011, Wiley), Al-Khwārizmī vond het" noodzakelijk dat we geometrisch de waarheid van dezelfde problemen aantoonden die we in cijfers hebben uitgelegd. "

Middeleeuwse moslimgeleerden schreven vergelijkingen uit als zinnen in een traditie die nu bekend staat als retorisch algebra. In de volgende 800 jaar vorderde de algebra over een spectrum van retorische en symbolische taal bekend als gesyncopeerde algebra. De pan-Euraziatische erfenis van kennis met inbegrip van wiskunde, astronomie en navigatie vond zijn weg naar Europa tussen de 11then 13th eeuwen, voornamelijk via het Iberisch schiereiland, dat de Arabieren bekend was als Al-Andalus. Bijzondere punten van overdracht naar Europa waren de verovering van Toledo door Spaanse christenen in 1085, het opnieuw claimen van Sicilië door de Noormannen (na de islamitische verovering in 965) en de veldslaggevechten in de Levant van 1096 tot 1303. Daarnaast bevatte een aantal van christelijke geleerden zoals Constantijn de Afrikaanse (1017-1087), Adelard van Bath (1080-1152) en Leonardo Fibonacci (1170-1250) reisden naar islamitische landen om wetenschappen te leren.

Rijping

Volledig symbolische algebra - zoals aangetoond aan het begin van het artikel - zou pas in de wetenschappelijke revolutie herkenbaar zijn. René Descartes (1596-1650) gebruikte algebra die we vandaag zouden herkennen in zijn publicatie "La Géométrie" uit 1637, die een pionier was in het in kaart brengen van algebraïsche vergelijkingen. Volgens Leonard Mlodinow in "Euclid's Window" (Free Press, 2002) waren de geometrische methoden van Descartes zo cruciaal voor zijn inzichten dat hij schreef dat 'mijn hele fysica niets anders is dan geometrie.' "Algebra, nadat hij van zijn procedurele procedure was afgeweken geometrische partner die 800 jaar eerder om zich te ontwikkelen tot een symbolische taal, was volledige cirkel.

Extra middelen

  • TED Talks: Terry Moore over "Why Is 'X' the Unknown?"
  • Robert Coolman's blog, Thing Are Interesting: Ancient Babylonian Mathematics
  • Khan Academy: Algebra I


Video Supplement: What is Algebra?.




WordsSideKick.com
Alle Rechten Voorbehouden!
Reproductie Van Materialen Toegestaan Alleen Prostanovkoy Actieve Link Naar De Site WordsSideKick.com

© 2005–2019 WordsSideKick.com