Wat Is Topologie?

{h1}

Topologie is een tak van de wiskunde die wiskundige ruimten beschrijft, met name de eigenschappen die voortvloeien uit de vorm van een ruimte.

Topologie is een tak van de wiskunde die wiskundige ruimten beschrijft, met name de eigenschappen die voortvloeien uit de vorm van een ruimte. Veel van de vormen waar topologen mee te maken hebben zijn ongelooflijk vreemd, zozeer zelfs dat vrijwel alle alledaagse objecten zoals kommen en huisdieren en bomen een kleine minderheid vormen. Het woord "topologie" is afgeleid van de Griekse woorden voor plaats (topos) en studeer (-logy).

Topologie is belangrijk als gids in verschillende studiegebieden:

  • Theoretische fysica (in het bijzonder de opvolgers van de kwantummechanica zoals quantumveldentheorie en snaartheorie)
  • Kosmologie (voor het bepalen van de vorm van het universum)
  • Biologie (voor het in de war raken van DNA en het voorspellen van de groei van organen en andere lichaamsdelen)
  • Computerwetenschappen (voor het bepalen van de grootschalige structuur van gegevensverzamelingen)
  • Robotica (waarbij de bewegingen van een robotarm worden gepland op basis van de vorm van een ruimte met een aantal dimensies gelijk aan het aantal armverbindingen)

Continue vervorming

Een topoloog bestudeert eigenschappen van vormen, in het bijzonder degene die worden behouden nadat een vorm is gedraaid, uitgerekt of vervormd. Deze lijst met toegestane wijzigingen past allemaal onder een wiskundig idee dat bekend staat als continue vervorming, wat ruwweg betekent "uitrekken, maar niet scheuren of samenvoegen". Een cirkel kan bijvoorbeeld worden getrokken en uitgerekt tot een ellips of iets complexs zoals de omtrek van een handafdruk. Scheuren en samenvoegen veroorzaken wat bekend staat als discontinuïteiten, dus ze zijn niet toegestaan.

Twee objecten die in dezelfde vorm kunnen worden uitgerekt, worden beschreven als homeomorphic, van Latinized Greek voor "similar to" (homeostatisch) en Grieks "vorm, vorm of figuur" (morphe). Door deze lens zijn vrijwel alle alledaagse objecten homeomorf met een bol (een bal) of een variëteit van torus (een doughnut).

Vrijwel alle alledaagse voorwerpen, wanneer onderworpen aan voortdurende vervorming, reduceren tot slechts enkele topologische vormen.

Vrijwel alle alledaagse voorwerpen, wanneer onderworpen aan voortdurende vervorming, reduceren tot slechts enkele topologische vormen.

Krediet: Robert J. Coolman

Sommige takken van de topologie laten een object door terwijl het uitgerekt wordt; anderen doen niet. Wanneer je een oppervlakte overweegt dat kan zelf passeren, is het belangrijk om een ​​oppervlak niet oneindig strak te knijpen, omdat dit ook discontinuïteiten toevoegt. Dit wordt meestal aangetroffen wanneer een oppervlak terug op zichzelf wordt verdubbeld, bijvoorbeeld wanneer je een bol binnenstebuiten probeert te draaien (wat moeilijk is, maar mogelijk).

Euler kenmerkend

Een voorbeeld van een eigenschap die niet verandert onder continue vervorming, is die van een object Euler-kenmerk, genoemd naar Leonhard Euler, een 18th-eeuwse Duitse wiskundige.

Om de Euler-eigenschap van een object te demonstreren, nemen we eerst een bol (of een object dat thuisomorf is met een bol, zoals een menselijk hoofd) en betegelen we het oppervlak met polygonen. Vervolgens tellen we het aantal gezichten (zijden), randen (plaatsen waar twee zijden samenkomen) en hoekpunten (plaatsen waar drie of meer zijden samenkomen). Voeg nu het aantal vlakken (F) en hoekpunten (V) toe en trek het aantal randen (E) af: F + V - E. Het maakt niet uit hoe u het oppervlak opsplitst; het antwoord zal altijd hetzelfde zijn: twee. Omdat de vijf platonische lichamen (de 3-D-vormen gemaakt van één soort regelmatige veelhoek) allemaal homomorf zijn voor een bol, hebben ze ook allemaal een Euler-karakteristiek van twee.

Alle platonische lichamen hebben een Euler-karakteristiek van twee.

Alle platonische lichamen hebben een Euler-karakteristiek van twee.

Krediet: Robert J. Coolman

We kunnen begrijpen waarom het Euler-kenmerk behouden blijft als we nadenken over wat het betekent om een ​​rand of vertex toe te voegen. Als u een rand tussen twee hoekpunten toevoegt, wordt het ene vlak in twee gedeeld: het aantal randen neemt toe, het aantal neemt toe en het aantal vertices blijft hetzelfde. Op dezelfde manier splitst een hoekpunt langs een rand de rand in tweeën: randen nemen toe, hoekpunten nemen toe, en vlakken blijven hetzelfde.

Plak nu het oppervlak van een torus, tel F, V en E, en je krijgt een Euler-karakteristiek van nul. Hier is een voorbeeld:

Een voorbeeld van een torus-veelvlak. Zoals bij alle tori is de Euler-karakteristiek (F + V - E) nul. In dit geval F = 16, V = 16 en E = 32.

Een voorbeeld van een torus-veelvlak. Zoals bij alle tori is de Euler-karakteristiek (F + V - E) nul. In dit geval F = 16, V = 16 en E = 32.

Krediet: Robert J. Coolman

Met een dubbele torus is de Euler-karakteristiek negatief twee; voor een drievoudige torus, negatieve vier. Elke extra opening vermindert de Euler-karakteristiek met twee.

Niet-richtbare oppervlakken

Eén ding waar alle vormen die we tot nu toe over hebben gehad gemeen hebben, is dat ze zouden zijn richtbare. Dit betekent dat een bug die op het buitenoppervlak loopt altijd aan de buitenkant blijft; Hetzelfde geldt voor de binnenkant. Er zijn ook non-richtbare oppervlakken, wat betekent dat een bug die ronddwaalt op het oppervlak aan beide kanten terecht kan komen. Het bekendste voorbeeld hiervan is de Mobius strip (die een Euler-karakteristiek heeft van nul, EC = 0).

Een Mobius-strip is het eenvoudigste voorbeeld van een niet-richtbaar oppervlak.

Een Mobius-strip is het eenvoudigste voorbeeld van een niet-richtbaar oppervlak.

Krediet: Esben Oxholm Shutterstock

Hoewel taal zoals "beide kanten van een Mobius-strip" nuttig is voor de introductie van het concept, druist het in tegen de geest van een topoloog, die zegt dat elk oppervlak tweedimensionaal is, evenals de wezens die er wonen. Door deze lens is het handiger om te denken aan een 2-D bug die in het oppervlak zelf leeft. Voor een oriënteerbaar oppervlak zijn er rechtshandige bugs en linkshandige bugs, maar voor een niet-richtbaar oppervlak zijn rechts- en linkshandige bugs niet te onderscheiden. Dit benadrukt dat de Mobius-strip een ruimte vertegenwoordigt en dat we geïnteresseerd zijn in de eigenschappen die voortvloeien uit de vorm van de ruimte.

Fundamentele polygonen

Met dit perspectief van oppervlakken 2D zijn, is het handig om de topologische ruimten in termen van hun weer te geven fundamentele polygonen. Als u het tweedimensionale oppervlak van een fundamentele polygoon wilt omzetten in een 3D-object, strek dan het oppervlak zo uit dat de overeenkomstige zijden samenkomen in de richting die wordt aangegeven door de pijlen. Zoals te zien is, maakt het samenvoegen van parallelle zijden een cilinder (EC = 0), en het verbinden van antiparallelle lijnen maakt een Mobius-strook (EC = 0).

De fundamentele polygonen van de cilinder en Mobius-strip.Randen met het label met letters worden samengevoegd in de richting aangegeven door de pijlen. De gestreepte randen blijven niet verbonden.

De fundamentele polygonen van de cilinder en Mobius-strip. Randen met het label met letters worden samengevoegd in de richting aangegeven door de pijlen. De gestreepte randen blijven niet verbonden.

Krediet: Robert J. Coolman

Een 2D-bug die de grens van een fundamentele polygoon verlaat en deze afloopt, wordt naar de andere grens getransporteerd en op dezelfde manier georiënteerd in vergelijking met de richting van de pijl. Of de bug hetzelfde blijft of flips geeft aan of het oppervlak oriënteerbaar of niet-richtbaar is. Een 2-D bug mag geen gestippelde grens overschrijden.

Een 2-D bug zwervend in het 2D-oppervlak van een Mobius-strip. Merk op hoe de bug wordt omgedraaid nadat hij zijn weg over de kaart heeft gevonden. Aangezien er geen onderscheid is tussen rechts- en linkshandige bugs, is het oppervlak niet-richtbaar. De bug mag niet over de gestippelde randen lopen.

Een 2-D bug zwervend in het 2D-oppervlak van een Mobius-strip. Merk op hoe de bug wordt omgedraaid nadat hij zijn weg over de kaart heeft gevonden. Aangezien er geen onderscheid is tussen rechts- en linkshandige bugs, is het oppervlak niet-richtbaar. De bug mag niet over de gestippelde randen lopen.

Krediet: Robert J. Coolman

De eerste vormen waarover we spraken hebben ook fundamentele polygonen. Om een ​​torus te maken, maakt u eerst een cilinder en strekt u de uiteinden van de cilinder uit totdat ze elkaar raken. Om een ​​bol te maken, vouwt u het vel van hoek naar hoek om een ​​driehoekige envelop te maken en blaast u het vervolgens op totdat het bolvormig is.

De fundamentele veelhoeken van de Torus en de Bol.

De fundamentele veelhoeken van de Torus en de Bol.

Krediet: Robert J. Coolman

De gestippelde randen van een Mobius-strip kunnen op twee verschillende manieren worden gecombineerd om twee niet-richtbare oppervlakken te genereren: een Klein Bottle (EC = 0) kan worden gezien als een kruising tussen een Mobius-strip en een cilinder, en een cross-capped schijf (EC = 1) kan worden gezien als het kruis tussen twee Mobius-strips. Net als bij de Mobius-strip kunnen we, als er een derde dimensie is om deze kaart in te pakken, een idee krijgen van de algemene "vorm" van de ruimte. Beide constructies vereisen dat het oppervlak door zichzelf mag passeren. Een 2-D bug zou zo'n kruising niet opmerken; alleen dat de wereld wordt "omgedraaid" na het nemen van bepaalde paden in de 2D-ruimte.

De fundamentele polygonen van de Klein-fles en de schijf met kruiskap. De cross-capped schijf is langs een rand geopend om het interieur bloot te leggen.

De fundamentele polygonen van de Klein-fles en de schijf met kruiskap. De cross-capped schijf is langs een rand geopend om het interieur bloot te leggen.

Krediet: Robert J. Coolman

Beroemde problemen in de topologie

Topologie bestaat nog maar een paar eeuwen, maar heeft al een rijke geschiedenis van problemen en subvelden die elk een eigen verhaal hebben.

  • Zeven bruggen van Königsberg: Wordt vaak beschouwd als het eerste probleem in de topologie. De oud-Pruisische stad Königsberg had eens zeven bruggen en de mensen vroegen zich af of het mogelijk was om een ​​pad te bewandelen dat maar één keer over de brug liep. In 1735 bewees Euler dat een dergelijk pad onmogelijk was.
  • Patronen in palm- en vingerafdrukken: Vingerafdrukken hebben allemaal gemeenschappelijke kenmerken, zoals lussen en triradii (drie lijnen komen samen). In 1965 wees Lionel Penrose, een Britse medisch geneticus, erop dat vingerafdrukken en palmafdrukken een universele regel gehoorzamen: iedereen die met vijf vingers is geboren heeft altijd vier triradii meer dan lussen.
  • Harige bal Stelling: Voor een bal (of bol, eerder) bedekt met haar, is het onmogelijk om al het haar plat te kammen. Er moet op zijn minst één plaats zijn waar het haar recht omhoog blijft steken.
  • Bol Eversion: Is het voor een bolvormig oppervlak dat door zichzelf mag gaan, mogelijk om een ​​bol volledig binnenstebuiten te draaien zonder een gebied oneindig strak te knellen? Het is lastig, maar ja.
  • Knot Theory: Knottheorie is een discipline binnen de topologie die alleen handelt over tori (meervoud van torus) die niet door zichzelf of door anderen heen kan gaan. Een belangrijk aandachtspunt van de knooptheorie is om te bepalen of twee verschillend ogende knopen homeomorf zijn.
  • Poincaré Conjecture: In dit artikel hebben we alleen 2D-spaties bekeken, maar er zijn ook 3D-spaties die op vreemde manieren met elkaar in verbinding staan. Het Poincare-vermoeden, voor het eerst gesteld in 1904, gaat over deze 3-D-ruimten, waarin staat dat "elk eenvoudig verbonden, gesloten 3-spruitstuk homeomorf is voor de 3-sfeer." Bijna een eeuw later, in 2000, selecteerde het Clay Mathematics Institute zeven onopgeloste "Millennium Prize" -problemen waarvoor $ 1 miljoen zou worden toegekend aan iedereen die een oplossing zou vinden. De Poincaré Conjecture was het eerste probleem dat moest worden opgelost. De Russische wiskundige Grigori Perelman, die de oplossing in 2002 vond, verwierp zowel de Millennium-geldprijs als de Fields-medaille (door velen beschouwd als het equivalent van een Nobelprijs voor de wiskunde).

Extra middelen

  • Zogg van Betelgeuse: No Edge: The Shape of the Universe
  • Royal Institution: Four Dimensional Maths

Video Supplement: GIS & Topology.




WordsSideKick.com
Alle Rechten Voorbehouden!
Reproductie Van Materialen Toegestaan Alleen Prostanovkoy Actieve Link Naar De Site WordsSideKick.com

© 2005–2019 WordsSideKick.com