Eigenschappen Van Pascal'S Triangle

{h1}

Pascal's driehoek, een eenvoudige maar complexe wiskundige constructie, verbergt enkele verrassende eigenschappen gerelateerd aan getaltheorie en waarschijnlijkheid.

De driehoek van Pascal is een nooit eindigende gelijkzijdige driehoek van getallen die een regel volgen van het toevoegen van de twee getallen hierboven om het getal eronder te krijgen. Twee van de zijkanten zijn "alle 1" en omdat de driehoek oneindig is, is er geen "onderkant".

Het is genoemd naar Blaise Pascal, een 17e-eeuwse Franse wiskundige die de driehoek gebruikte in zijn studies in de kansrekening. Het is echter al duizenden jaren over de hele wereld bestudeerd, met name in het oude India en het middeleeuwse China, en tijdens de Gouden Eeuw van de islam en de Renaissance, die begon in Italië voordat hij zich over Europa verspreidde.

Eenvoudig als dit patroon is, heeft het verrassende verbanden in vele gebieden van de wiskunde, inclusief algebra, getaltheorie, waarschijnlijkheid, combinatoriek (de wiskunde van telbare configuraties) en fractals. In een 2013 "Expert Voices" -kolom voor WordsSideKick.com, beschreef Michael Rose, een wiskundige die studeerde aan de universiteit van Newcastle, veel van de patronen verborgen in de driehoek van Pascal. In dit artikel zullen we specifiek ingaan op de eigenschappen die gevonden worden in de hogere wiskunde.

combinaties

De driehoek van Pascal ontstaat op natuurlijke wijze door de studie van combinatoriek. Stel u bijvoorbeeld drie kleuren voor uit een vijfkleurenverpakking met markeringen. De volgorde waarin de kleuren worden geselecteerd maakt niet uit voor het kiezen van een poster, maar voor het kiezen van één kleur voor Alice, Bob en Carol. Het aantal mogelijke configuraties wordt als volgt weergegeven en berekend:

  • Eén kleur voor Alice, Bob en Carol: een geval als dit bij een bestelling doet materie heet a permutatie. Voor een casus met vijf opties waarbij er drie worden gekozen en besteld, wordt dit aantal mogelijke permutaties uitgedrukt als 5P3 en berekend als 5! / (5-3) !. De operator "!" wordt een faculteit genoemd, wat betekent dat alle mindere hele getallen tot één worden vermenigvuldigd (bijvoorbeeld 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1) De uitdrukking voor 5P3 vereenvoudigt tot 5! / 2! = 5 × 4 × 3 = 60
  • Drie kleuren voor een enkele poster: een geval als dit bij een bestelling doet niet materie heet a combinatie. Het aantal mogelijke combinaties zal altijd een fractie zijn van het aantal mogelijke permutaties. Voor een case met vijf opties waarbij er drie worden gekozen, wordt dit uitgedrukt als 5C3 en berekend als 5! / [3! (5-3)!] = 5! / (3! × 2!) = 5 × 4 × 3 / (3 × 2 × 1) = 10

Dit tweede geval is significant voor de driehoek van Pascal, omdat de waarden als volgt kunnen worden berekend:

De nummers van de driehoek van Pascal komen overeen met het aantal mogelijke combinaties (nCr) wanneer zij worden geconfronteerd met het moeten kiezen van het r-aantal objecten uit het n-aantal beschikbare opties.

De nummers van de driehoek van Pascal komen overeen met het aantal mogelijke combinaties (nCr) wanneer zij worden geconfronteerd met het moeten kiezen van het r-aantal objecten uit het n-aantal beschikbare opties.

Krediet: Robert J. Coolman

Vanaf het genereren van de driehoek van Pascal kunnen we elk getal genereren door de twee bovenstaande getallen toe te voegen. Wiskundig gezien wordt dit uitgedrukt als nCr = n-1Cr-1 + n-1Cr - deze relatie is door verschillende geleerden van de wiskunde door de geschiedenis heen opgemerkt.

De binomiale stelling

Binomiaal is een woord dat in de algebra wordt gebruikt en dat ruwweg 'twee dingen bij elkaar' betekent. De binomiale stelling verwijst naar het patroon van coëfficiënten (getallen die voor variabelen verschijnen) die verschijnen wanneer een binomiaal een bepaald aantal keer zelf wordt vermenigvuldigd. Wiskundig gezien is dit geschreven als (x + y)n. De driehoek van Pascal kan worden gebruikt om het uitgebreide patroon van coëfficiënten te bepalen. De eerste paar uitgebreide polynomen worden hieronder gegeven.

n(x + y)nExpanded PolynomialDe driehoek van Pascal
0(x + y)011
1(x + y)11x + 1j1,1
2(x + y)21x2 + 2xy + 1y21,2,1
3(x + y)31x3 + 3x2y + 3xy2 + 1j31,3,3,1
4(x + y)41x4 + 4x3y + 6x2Y2 + 4xy3 + 1j41,4,6,4,1
5(x + y)51x5 + 5x4y + 10x3Y2 + 10x2Y3 + 5xy4 + 1j51,5,10,10,5,1

Met behulp van sommatie-notatie, kan de binomiale stelling bondig worden geschreven als:

De binomiale stelling uitgeschreven in sommatie-notatie.

De binomiale stelling uitgeschreven in sommatie-notatie.

Krediet: Robert J. Coolman

De binomiale verdeling

Voor een probabilistisch proces met twee uitkomsten (zoals een coin flip) wordt de volgorde van uitkomsten bepaald door wat wiskundigen en statistici de binomiale verdeling. Dit heeft ook betrekking op de driehoek van Pascal.

Voor bijvoorbeeld drie coinflips zijn er 2 × 2 × 2 = 8 mogelijke heads / tailsequenties. Wanneer gesorteerd in groepen van "hoeveel hoofden (3, 2, 1 of 0)", wordt elke groep gevuld met respectievelijk 1, 3, 3 en 1 reeksen. Let op hoe dit overeenkomt met de derde rij van Pascal's Triangle. Het is bewezen dat deze trend geldt voor alle aantallen coinflips en alle rijen van de driehoek.

MuntflipsMogelijke reeksen koppen (H) of staarten (T)De driehoek van Pascal
1H
T
1
1
2HH
HT TH
TT
1
2
1
3HHH
HHT HTH THH
HTT THT TTH
TTT
1
3
3
1
4HHHH
HHHT HHTH HTHH THHH
HHTT HTHT HTTH THTH THTH TTHH
HTTT THTT TTHT TTTH
TTTT
1
4
6
4
1

Volgens George E.P. Box in "Statistics for Experimenters" (Wiley, 1978), voor grote aantallen coinflips (meer dan ongeveer 20), is de binomiale verdeling een redelijke benadering van de normale verdeling, een fundamentele "bel-curve" -verdeling die als basis wordt gebruikt in statistische analyse.Deze benadering vereenvoudigt op significante wijze de statistische analyse van een groot aantal verschijnselen.

Een fysiek voorbeeld van deze benadering is te zien in een bonenmachine, een apparaat dat ballen willekeurig naar bakken sorteert op basis van hoe ze over een driehoekige opstelling van pinnen vallen. Omdat een bal die een pen raakt een gelijke kans heeft om naar links of rechts te vallen, is de kans dat een bal helemaal naar links (of rechts) landt na het passeren van een bepaald aantal rijen pinnen exact gelijk aan de waarschijnlijkheid alle hoofden (of staarten) van hetzelfde aantal coin flips. Nadat een voldoende aantal ballen langs een driehoek is verzameld met n rijen pinnen, de verhoudingen van aantallen ballen in elke bak zijn het meest waarschijnlijk gelijk aan die van nth rij van Pascal's Triangle.

Fibonacci-reeks

Pascal's Triangle heeft ook een significante band met de getaltheorie. De meest duidelijke verbinding is de Fibonacci-reeks. Het toevoegen van de getallen van Pascal's driehoek langs een bepaalde diagonaal levert de nummers van de reeks op.

Sommen langs een bepaalde diagonaal van de driehoek van Pascal produceren de Fibonacci-reeks.

Sommen langs een bepaalde diagonaal van de driehoek van Pascal produceren de Fibonacci-reeks.

Krediet: Robert J. Coolman

Fractals

Het inkleuren van de getallen van Pascal's driehoek door hun deelbaarheid levert een interessante variëteit aan fractals op. In het bijzonder produceert het inkleuren van alle nummers die deelbaar zijn door twee (alle even getallen) de Sierpiński-driehoek. Deze patronen zijn sinds de 13e eeuw in de Italiaanse kunst verschenen, volgens Wolfram MathWorld.

Voor de driehoek van Pascal produceert een kleur die deelbaar is door een bepaalde hoeveelheid een fractal. Net als de driehoek van Pascal gaan deze patronen door tot in het oneindige.

Voor de driehoek van Pascal produceert een kleur die deelbaar is door een bepaalde hoeveelheid een fractal. Net als de driehoek van Pascal gaan deze patronen door tot in het oneindige.

Krediet: Robert J. Coolman

Extra middelen

Voor meer discussie over de driehoek van Pascal, ga naar:

  • Math is leuk
  • Wolfram MathWorld
  • American Mathematical Society


Video Supplement: Incredible Formula - Numberphile.




WordsSideKick.com
Alle Rechten Voorbehouden!
Reproductie Van Materialen Toegestaan Alleen Prostanovkoy Actieve Link Naar De Site WordsSideKick.com

© 2005–2019 WordsSideKick.com