Tessellation: The Geometry Of Tiles, Honeycombs En M.C. Escher

{h1}

Tessellation is een zich herhalend patroon van dezelfde vormen zonder hiaten of overlappingen. Deze patronen zijn te vinden in de natuur, gebruikt door kunstenaars en architecten en bestudeerd voor hun wiskundige eigenschappen.

Honingraten, enkele badkamervloeren en ontwerpen van kunstenaar M.C. Escher hebben iets gemeen: ze zijn samengesteld uit zich herhalende patronen van dezelfde vorm zonder overlappingen of gaten. Dit type patroon wordt betegeling of tessellation genoemd.

Het woord "tessellate" betekent volgens de Drexel University het vormen of rangschikken van kleine vierkanten in een ruit of mozaïekpatroon. Het komt van het Grieks tesseres, wat 'vier' betekent. De eerste betegeling was gemaakt van vierkante tegels. Als een kunstvorm is tessellation bijzonder rijk aan wiskunde, met banden met geometrie, topologie en groepstheorie. Culturen variërend van het Iers en het Arabisch tot het Indisch en het Chinees hebben allemaal getweeërd op verschillende niveaus van complexiteit. Laten we eens kijken naar de grote verscheidenheid aan mozaïekvelden die we in de natuur, functioneel ontwerp en kunst vinden.

Regelmatige betegelingen

In wiskundige termen, beschrijft "regulier" elke vorm die alle gelijke zijden en gelijke hoeken heeft. Er zijn drie reguliere vormen die regelmatige tessellations vormen: de gelijkzijdige driehoek, het vierkant en de regelmatige zeshoek. Bijvoorbeeld, een regelmatige zeshoek wordt gebruikt in het patroon van een honingraat, de neststructuur van de honingbij.

Gelijkzijdige driehoeken, vierkanten en regelmatige zeshoeken vormen regelmatige tessellaties.

Gelijkzijdige driehoeken, vierkanten en regelmatige zeshoeken vormen regelmatige tessellaties.

Krediet: Robert Coolman

Semi-regelmatige betegelingen

Semi-regelmatige betegelingen zijn gemaakt van meer dan één soort regelmatige veelhoek. Binnen de limiet van dezelfde vormen rond elke vertex (de punten waar de hoeken samenkomen), zijn er acht van dergelijke spiegels. Elke semi-regelmatige mozaïekpatroon is genoemd naar het aantal zijden van de vormen rondom elke vertex. Voor de eerste herhaling hieronder is bijvoorbeeld elke hoek samengesteld uit het punt van een driehoek (3 zijden), een zeshoek (6), een andere driehoek (3) en een andere zeshoek (6), dus het wordt 3.6.3.6 genoemd. Soms worden deze tessellations beschreven als "Archimedes" ter ere van de derde eeuw voor Christus. Griekse wiskundige.

Semi-reguliere mozaïekwerken zijn gemaakt van combinaties van verschillende vormen.

Semi-reguliere mozaïekwerken zijn gemaakt van combinaties van verschillende vormen.

Krediet: Robert Coolman

Monohedrale mozaïekvertakkingen

"Mono" betekent "één" en "-hedral" betekent "vorm"; dus monohedrische mozaïekvertakkingen bestaan ​​uit slechts één vorm, hoewel de vorm kan worden geroteerd of omgedraaid. In de taal van de wiskunde worden de vormen in zo'n patroon als congruent beschreven. Elke driehoek (driezijdige vorm) en elke vierhoek (vierzijdige vorm) is op ten minste één manier in staat tot tessellation, hoewel een select groepje op meer dan één manier kan betegelen. Een paar voorbeelden worden hieronder getoond:

Monohedrale tessellaties zijn gemaakt van één vorm die wordt geroteerd of omgekeerd om verschillende patronen te vormen.

Monohedrale tessellaties zijn gemaakt van één vorm die wordt geroteerd of omgekeerd om verschillende patronen te vormen.

Krediet: Robert Coolman

Volgens wiskundige Eric W. Weisstein van MathWorld van Wolfram Research, voor vijfhoeken, zijn er momenteel 14 bekende klassen van vormen die mozaïek zullen vormen, en slechts drie voor zeshoeken. Of er meer klassen zijn, blijft een onopgelost probleem van de wiskunde. Wat betreft vormen met zeven of meer zijden, geen enkele polygoon mozaïek, tenzij ze een hoek groter dan 180 graden hebben. Zo'n veelhoek wordt beschreven als hol, omdat deze een inkeping heeft.

Een paar voorbeelden van vijfhoekige tessellaties worden hieronder getoond. De 14 klassen van pentagonale mozaïekvorming kunnen allemaal worden gegenereerd in het demonstratieproject van Wolfram.

Een paar voorbeelden van vijfhoekige betegelingen. Er zijn slechts 14 bekende patronen die kunnen worden gemaakt.

Een paar voorbeelden van vijfhoekige betegelingen. Er zijn slechts 14 bekende patronen die kunnen worden gemaakt.

Krediet: Robert Coolman

duals

Er is een diepere verbinding die door veel van deze geometrische tessellaties loopt. Veel van hen zijn "duals" van elkaar. Volgens Branko Grünbaum, auteur van "Tilings and Patterns" (Freeman, 1987), om een ​​tweesnede te maken, een punt in het midden van elke vorm te tekenen, elke stip aan te sluiten op elk van de punten van de naburige vorm en het originele patroon te wissen. Hieronder zijn enkele voorbeelden van mozaïekvloeren en hun duals:

Een duaal van een regelmatige mozaïekpatroon wordt gevormd door het midden van elke vorm als een hoekpunt te nemen en de middelpunten van aangrenzende vormen met elkaar te verbinden.

Een duaal van een regelmatige mozaïekpatroon wordt gevormd door het midden van elke vorm als een hoekpunt te nemen en de middelpunten van aangrenzende vormen met elkaar te verbinden.

Krediet: Robert Coolman

M.C. Escher & gemodificeerde monohedrale mozaïekvertakkingen

Een unieke kunstvorm wordt mogelijk gemaakt door het wijzigen van monohedrale mozaïekpatronen. De meest bekende beoefenaar hiervan is 20th-eeuwse kunstenaar M.C. Escher. Volgens James Case, een boekrecensent voor de Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), deelde Escher in 1937 met zijn broer schetsen uit zijn fascinatie voor 11th- en 12th-eeuwse islamitische kunstwerken van het Iberisch schiereiland. Zijn broer leidde hem naar een wetenschappelijk document uit 1924 van George Pólya dat de 17 manieren illustreerde waarop een patroon kan worden gecategoriseerd door zijn verschillende symmetrieën. Dit inspireerde Escher verder, die begon met het verkennen van diep ingewikkelde in elkaar grijpende tessellaties van dieren, mensen en planten.

Volgens Escher, "hebben Crystallografen... vastgesteld welke en hoeveel manieren er zijn om een ​​vliegtuig op een reguliere manier te verdelen, waardoor ze de poort hebben geopend die leidt naar een uitgebreid domein, maar ze zijn dit domein zelf niet binnengegaan. hun aard is dat ze meer geïnteresseerd zijn in de manier waarop de poort wordt geopend dan in de tuin die erachter ligt. '

De volgende "gekko" vlakverdeling, geïnspireerd door vergelijkbare Escher-ontwerpen, is gebaseerd op een zeshoekig raster. Merk op hoe elke gekko zes anderen raakt.

Een tessellation van gekko's, geïnspireerd door de ontwerpen van M.C. Escher.

Een tessellation van gekko's, geïnspireerd door de ontwerpen van M.C. Escher.

Krediet: Robert Coolman

Aperiodische tessellations

Niet alle tessellations herhalen. Zo'n patroon (als het dat kan worden genoemd) wordt beschreven als 'aperiodisch'. Hieronder staan ​​drie versies van Penrose Tiling, genoemd naar de Engelse wiskundig natuurkundige Rodger Penrose, die voor het eerst dergelijke patronen publiceerde in 1974 aan de Universiteit van Oxford. Deze patronen vertonen vijfvoudige symmetrie, een eigenschap die niet wordt gevonden in een periodiek (herhalend) patroon.

Deze mozaïekpatronen hebben geen herhalende patronen. Ze worden aperiodisch genoemd.

Deze mozaïekpatronen hebben geen herhalende patronen. Ze worden aperiodisch genoemd.

Krediet: Robert Coolman

De middeleeuwse islamitische architectuur is bijzonder rijk aan een periodische mozaïekpatroon. De patronen werden minstens 500 jaar voordat ze in het Westen werden ontdekt, gebruikt in kunstwerken en architectuur. Een vroeg voorbeeld is Gunbad-i Qabud, een 1197-graftoren in Maragha, Iran. Volgens ArchNet, een online architectuurbibliotheek, zijn de buitenoppervlakken "volledig bedekt met een baksteenpatroon van ineenvallende pentagonen."

De geometrieën binnen vijfvoudige symmetrische aperiodische mozaïeken zijn belangrijk geworden voor het gebied van kristallografie, dat sinds de jaren tachtig aanleiding heeft gegeven tot de studie van quasicrystals. Volgens Peter J. Lu, een fysicus aan de Harvard, hebben metalen quasi-kristallen "ongewoon hoge thermische en elektrische weerstanden vanwege de aperiodiciteit" van hun atomaire rangschikking.

Een andere reeks interessante aperiodische mozaïekwerken zijn spiralen. Het eerste dergelijke patroon werd ontdekt door Heinz Voderberg in 1936 en gebruikte een concave 11-zijdige polygoon (links afgebeeld). Een andere spiraalbetegeling werd in 1985 gepubliceerd door Michael D. Hirschhorn en D.C. Hunt met behulp van een onregelmatige vijfhoek (weergegeven aan de rechterkant).

Voorbeelden van spiraalkruisingen.

Voorbeelden van spiraalkruisingen.

Krediet: Robert Coolman

Extra middelen

  • Zie M.C. Escher's tessellations bij het M.C. Escher Gallery.
  • Bekijk deze YouTube-video voor meer informatie over Penrose Tilings.
  • Lees meer over de ideeën van Peter J. Lu over de geometrie van middeleeuwse islamitische architectuur.


Video Supplement: How To Draw Geometric Patterns - Moorish Wedge Tiling.




Onderzoek


De Auteur Van This Physics Paper Is 7 Jaar Oud (En Ook Een Kat)
De Auteur Van This Physics Paper Is 7 Jaar Oud (En Ook Een Kat)

Trial: Schoolbestuurslid 'Did Not Believe In Evolution'
Trial: Schoolbestuurslid 'Did Not Believe In Evolution'

Science Nieuws


Salmonella-Tainted Kratom Sicks Een Dozijn Meer Mensen In Uitbraak
Salmonella-Tainted Kratom Sicks Een Dozijn Meer Mensen In Uitbraak

Dodelijk Mengsel: Wetenschappers Ontmaskeren Schadelijke Geneesmiddelinteracties
Dodelijk Mengsel: Wetenschappers Ontmaskeren Schadelijke Geneesmiddelinteracties

Feiten Over Drones (Infographic)
Feiten Over Drones (Infographic)

Top 5 Energie-Efficiënte Computermonitoren
Top 5 Energie-Efficiënte Computermonitoren

Nachtuiltjes Die Meer Kans Hebben Om Nachtmerries Te Ervaren
Nachtuiltjes Die Meer Kans Hebben Om Nachtmerries Te Ervaren

WordsSideKick.com
Alle Rechten Voorbehouden!
Reproductie Van Materialen Toegestaan Alleen Prostanovkoy Actieve Link Naar De Site WordsSideKick.com

© 2005–2019 WordsSideKick.com