Wat Zijn Logaritmen?

{h1}

Een logaritme bepaalt hoeveel keer een bepaald getal door zichzelf moet worden vermenigvuldigd om een ​​ander getal te bereiken.

Een logaritme is een wiskundige bewerking die bepaalt hoe vaak een bepaald aantal, de basis genoemd, met zichzelf wordt vermenigvuldigd om een ​​ander getal te bereiken. Omdat logaritmen geometrische progressies relateren aan rekenkundige progressies, worden er voorbeelden gevonden in de natuur en kunst, zoals de afstand tussen gitaarpartijen, minerale hardheid en de intensiteiten van geluiden, sterren, stormen, aardbevingen en zuren. Logaritmen beschrijven zelfs hoe mensen instinctief denken over getallen.

Logaritmen werden in de 17e eeuw uitgevonden als een rekenhulpmiddel van de Schotse wiskundige John Napier (1550 tot 1617), die de term uit de Griekse woorden voor ratio bedacht (logos) en nummer (arithmos). Vóór de uitvinding van mechanische (en later elektronische) calculators waren logaritmen van groot belang voor het vereenvoudigen van berekeningen die te vinden zijn in astronomie, navigatie, landmeetkunde en later engineering.

Een voorbeeld: vouwpapier

Logaritmen kenmerken hoe vaak je een vel papier moet vouwen om 64 lagen te krijgen. Telkens als u het papier doormidden vouwt, verdubbelt het aantal lagen. Wiskundig gezien is 2 (de basis) een aantal malen 64 maal vermenigvuldigd. Hoeveel vermenigvuldigingen zijn er nodig? Deze vraag is geschreven als:

logboek2(64) = x

Een logaritme kan worden gezien als het omgekeerde van een exponentiële, dus de bovenstaande vergelijking heeft dezelfde betekenis als:

2X = 64

Sinds 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64, 26 = 64. Dit betekent dat als we een vel papier zes keer zes keer vouwen, het 64 lagen heeft. Bijgevolg is de logaritme van basis-2 van 64 6, dus log2(64) = 6.

Nog een voorbeeld: moleculen meten

Als u 1 milliliter van een vloeistof inneemt, voeg dan 99 ml water toe, meng de oplossing en neem dan een monster van 1 ml, 99 van elke 100 moleculen uit de oorspronkelijke vloeistof wordt vervangen door watermoleculen, wat betekent dat slechts 1/100 van de vloeistof de moleculen van de originele vloeistof zijn achtergebleven. Soms wordt dit voor honderd een 'C-verdunning' uit het Romeinse cijfer genoemd. Begrijpen dat 1 ml pure alcohol ongeveer 10 heeft22 (een gevolgd door 22 nullen) moleculen, hoeveel C-verdunningen duurt het tot bijna alles één molecuul wordt vervangen door water? Wiskundig gezien is 1/100 (de basis) een bepaald aantal maal vermenigvuldigd met 1/1022, dus hoeveel vermenigvuldigingen zijn er nodig? Deze vraag is geschreven als:

logboek1/100(1/1022) = 11

Dus na 11C verdunningen zal er slechts één molecuul van de oorspronkelijke alcohol over zijn. (Dit is bovendien minder dan de helft van de 30 C-verdunningen die in de homeopathie veel voorkomen, wat aantoont waarom de praktijk onverenigbaar is met de moderne chemie.)

Logaritmen op een wetenschappelijke rekenmachine

De meeste wetenschappelijke rekenmachines berekenen alleen logaritmen in basis 10, geschreven als log (x) voor gemeenschappelijke logaritme en basis e, geschreven als ln (x) voor natuurlijke logaritme (de reden waarom de letters l en n achterwaarts zijn, gaat verloren voor de geschiedenis). Het nummer e, wat gelijk is aan ongeveer 2.71828, is een irrationeel getal (zoals pi) met een niet-herhalende reeks decimalen die zich uitstrekt tot in het oneindige. Het komt van nature voort uit de ontwikkeling van logaritmes en calculus, het is bekend als Napier's Constant en Euler's Number, naar Leonhard Euler (1707 tot 1783), een Zwitserse wiskundige die het onderwerp een eeuw later naar voren bracht.

Om een ​​logaritme te doen in een andere base dan 10 of e, we gebruiken een eigenschap die inherent is aan logaritmen. Uit ons eerste voorbeeld hierboven, log2(64) kan in een calculator worden ingevoerd als "log (64) / log (2)" of "ln (64) / ln (2)"; ofwel geeft het gewenste antwoord van 6. Evenzo, log1/100(1/1022) is gelijk aan "log (1/1022) / log (1/100) "en" ln (1/1022) / ln (1/100) "voor een antwoord van 11.

Logaritmische schalen in de wetenschap

Omdat logaritmen multiplicatieve veranderingen relateren aan incrementele veranderingen, duiken logaritmische schalen op in een verrassend aantal wetenschappelijke en alledaagse verschijnselen. Neem bijvoorbeeld de geluidsintensiteit: om het volume van een luidspreker met 10 decibel (dB) te verhogen, moet het tien keer zoveel stroom krijgen. Evenzo vereist +20 dB 100 keer het vermogen en +30 dB vereist 1000 keer. Decibels worden "rekenkundig voortgeschreden" of "variërend op een logaritmische schaal" genoemd omdat ze proportioneel veranderen met de logaritme van een andere meting; in dit geval de kracht van de geluidsgolf, die "geometrisch voortschrijdt" of "varieert op een lineaire schaal."

Lineaire schaal

Logaritmische schaal

Geluidsintensiteit

Vermogen [× 10]

Decibels (dB) [+10]

Toonhoogte

Frequentie [× 2]

Opmerking [+12 halve stappen]

Sterrenhelderheid

Vermogen per oppervlakte-eenheid [× 100]

Magnitude [-5]

Aardbevingintensiteit

Energie [× 1000]

Schaal van Richter [+2]

Windintensiteit

Windsnelheid [× 1,5]

Schaal van Beaufort [+1]

Minerale hardheid

Absolute hardheid [× 3 (ongeveer)]

Mohs schaal [+1]

Zuurgraad / Basiciteit

Concentratie van H+ionen [× 10]

pH [-1]

De tabel laat zien dat de aantallen met betrekking tot verschillende lineaire en logaritmische systemen sterk uiteenlopen. Dit komt omdat een logaritmische schaal vaak het eerst wordt uitgevonden als een karakteriseringstechniek zonder een diep begrip van de meetbare verschijnselen achter die karakterisering. Een goed voorbeeld is sterhelderheid, die werd geïntroduceerd door Hipparchus, een B.C. uit de tweede eeuw. Griekse astronoom. Van de helderste sterren in de nachtelijke hemel werd gezegd dat ze van de eerste magnitude waren (m = 1), terwijl de zwakste van de zesde magnitude waren (m = 6).In de negentiende eeuw A.D. ontdekte de Engelse astronoom Norman Robert Pogson dat de magnitude de logaritme is van de hoeveelheid sterrenlicht die een detector raakt.

De meeste andere logaritmische schalen hebben een soortgelijk verhaal. Die logaritmische schalen komen vaak eerst en suggereren dat ze in zekere zin intuïtief zijn. Dit heeft niet alleen te maken met onze perceptie, maar ook hoe we instinctief denken over getallen.

Lineair wordt geleerd; Logaritmisch is instinctief

Hoewel logaritmische schalen voor veel (zo niet de meeste) wiskundestudenten lastig zijn, hebben ze vreemd genoeg veel te maken met hoe we allemaal instinctief dachten over cijfers als baby's. Stanislas Dehaene, een professor aan het Collège de France en een expert op het gebied van numerieke cognitie, registreerde de hersenactiviteit bij baby's van twee tot drie maanden oud om te zien hoe ze veranderingen op een computerscherm waarnemen. Een verandering van acht eenden naar 16 eenden veroorzaakte activiteit in de pariëtale kwab, wat aantoont dat pasgeborenen een intuïtie van getallen hebben. De reactie van een baby is kleiner naarmate de cijfers dichter bij elkaar liggen, maar wat interessant is, is hoe een baby 'nabijheid' ervaart. Acht en negen worden bijvoorbeeld veel dichter bij elkaar waargenomen dan één en twee. Volgens Dehaene, "lijken ze zich te bekommeren om de logaritme van het getal." In principe denken baby's niet na over verschillen, ze denken na over verhoudingen.

Onderzoek met mensen afkomstig uit de Amazone, die "geen nummerwoorden hebben die ouder zijn dan vijf, en ze deze aantallen niet reciteren", laat zien dat mensen, als ze aan hun instinct worden overgelaten, op deze manier zullen blijven denken. Als iemand één object aan de linkerkant en negen aan de rechterkant wordt getoond en wordt gevraagd: "Wat zit er in het midden?", Dan zouden jij en ik vijf objecten kiezen, maar de gemiddelde Amazone kiest er drie. Wanneer we denken in termen van verhoudingen en logaritmische schalen (in plaats van verschillen en lineaire schalen), is één keer drie drie en drie keer drie is negen, dus drie is in het midden van één en negen.

Historische motivatie voor de ontwikkeling van logaritmen

Het werk van John Napier uit 1614, "Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio" (beschrijving van de wonderlijke canon van logaritmen), bevatte 90 pagina's met numerieke tabellen met betrekking tot logaritmen. Deze waren van bijzonder nut voor het vereenvoudigen van berekeningen. In het volgende voorbeeld maakt een methode met behulp van logaritmen gebruik van het feit dat het gemakkelijker toe te voegen is in plaats van te vermenigvuldigen. Het volgende voorbeeld is niet echt eenvoudiger gemaakt, maar wel het gebruik van logaritmische tabellen.

37 × 59

Uit een versie van de Napier-tabellen kon elk van deze nummers als volgt worden geschreven:

101.5682 × 101.7709

Exponenten hebben een nuttige eigenschap die de volgende stap mogelijk maakt:

101.5682 + 1.7709

Welke vertrekt:

103.3391

Uit een andere tabel wordt het definitieve antwoord bepaald:

2,183

Schuif regels

Deze eigenschap van vermenigvuldiging analoog aan optellen maakt nog een andere verouderde berekeningstechniek mogelijk: de rekenliniaal. Er kunnen twee normale (lineaire) linialen worden gebruikt om nummers toe te voegen zoals getoond:

Lineaire linialen kunnen worden gebruikt om een ​​toevoeging uit te voeren. Hier wordt getoond dat 2 + 3 = 5.

Lineaire linialen kunnen worden gebruikt om een ​​toevoeging uit te voeren. Hier wordt getoond dat 2 + 3 = 5.

Krediet: Robert J. Coolman

Vergelijkbaar met de hierboven getoonde procedure, kunnen twee linialen worden gebruikt om te vermenigvuldigen wanneer ze worden afgedrukt met logaritmische schalen.

Logaritmische heersers kunnen worden gebruikt om vermenigvuldiging uit te voeren. Hier wordt aangetoond dat 2 × 8 = 16.

Logaritmische heersers kunnen worden gebruikt om vermenigvuldiging uit te voeren. Hier wordt aangetoond dat 2 × 8 = 16.

Krediet: Robert J. Coolman

Deze markeringen komen ook overeen met de spatiëring van frets op de toets van een gitaar of ukulele. Muzieknoten variëren op een logaritmische schaal, omdat progressief hogere octaven (uiteinden van een muzikale schaal) door het menselijk oor als gelijkmatig gespreid worden waargenomen, zelfs als ze worden geproduceerd door de reeks herhaaldelijk in tweeën te snijden (vermenigvuldigend met ½). Tussen de nek en het midden van een gitaarsnaar bevinden zich 12 logaritmisch uit elkaar geplaatste frets.

Extra middelen

  • Natuur: Waarom zouden we van logaritmen houden?
  • Radio Lab: Innate Numbers
  • Numberphile: Log Tables (YouTube)
  • Math Is Fun: Inleiding tot logaritmen
  • Khan Academy: logaritmische tutorial


Video Supplement: Logaritmische functies: Basisregel logaritme - Wiskunjeleren.




WordsSideKick.com
Alle Rechten Voorbehouden!
Reproductie Van Materialen Toegestaan Alleen Prostanovkoy Actieve Link Naar De Site WordsSideKick.com

© 2005–2019 WordsSideKick.com