Wat Is Getaltheorie?

{h1}

Wat is getaltheorie? Leer hoe wiskundigen getaltheorie gebruiken om relaties te definiëren die ten grondslag liggen aan de natuur zelf.

Iedereen die ooit verliefd is geworden, zal je vertellen dat het de kleine dingen zijn die van belang zijn voor de ander. De domme in-moppen gedeeld aan het eind van de dag. De eigenaardigheden van het ochtendkoffie-ritueel van de andere persoon. De manier waarop hij of zij oude paperbacks op het nachtkastje laat staan. Dergelijke onderling verbonden details komen ons definiëren. Ze volgen de onderstromen van onze persoonlijkheid, en voor het oplettende en liefdevolle oog belichten ze ware schoonheid.

In de ogen van sommigen is er geen mooiere schoonheid dan die in de wiskunde. Ze kijken naar de wereld van getallen en, net zoals je nooit je menselijke geliefde uitsluitend zou definiëren door zijn of haar beroep of haarkleur, ziet de wiskundeliefhebber verder dan alleen de functie van getallen. De wil van 6, 28 en 496 veranderen in iets meer subliem dan eenvoudige dragers van informatie. Onafhankelijk van hun gebruik, worden getallen fascinerende entiteiten, en hun wiskundige relaties drukken de complexiteit uit van een enorm systeem dat de natuur zelf ondersteunt.

De studie van die soms subtiele en verreikende relaties is nummer theorie, soms aangeduid als hogere rekenkunde. Getaltheoretici onderzoeken de eigenschappen van integers, de natuurlijke getallen die je kent als -1, -2, 0, 1, 2 enzovoort. Het is deels theoretisch en deels experimenteel, omdat wiskundigen proberen fascinerende en zelfs onverwachte wiskundige interacties te ontdekken.

Wat voor soort relaties? We categoriseren integers in verschillende typen nummers op basis van hun relaties. Er zijn natuurlijk oneven nummers (1,3, 5...), die niet gelijkelijk kan worden verdeeld, en even getallen (2, 4, 6...), wat kan. Er zijn vierkante nummers, geproduceerd door zelf een ander nummer te vermenigvuldigen. Bijvoorbeeld 2 x 2 = 4 en 3 x 3 = 9, dus 4 en 9 zijn beide vierkante cijfers. Dus is 1 (1 x 1 = 1) en dat is ook 9.801 (99 x 99 = 9.801). We geven deze vier voorbeelden ook uit als 22, 32, 12 en 992.

Laten we nu een ander niveau van intriges toevoegen aan dit voorbeeld. In sommige gevallen kunnen we vierkante getallen samenvoegen om andere gekwadrateerde getallen te produceren in wat a wordt genoemd Pythagorean triple, zoals ze passen in de de stelling van Pythagoras (een2 + b2 = c2). Een voorbeeld hiervan is 32 + 42 = 52of 3, 4, 5.

Getaltheorie omvat het analyseren van dergelijke wiskundige relaties, evenals het stellen van nieuwe vragen over hen. Maar wat is een getaltheorie eigenlijk? Wat gaat er in het formuleren van een bewijs en waarom blijven sommige wiskundige vragen eeuwenlang onbeantwoord?

Vragen in de getaltheorie

Dus, de wereld van wiskunde biedt talloze getallentypen aan, elk met zijn eigen specifieke eigenschappen. Wiskundigen formuleren theorieën over de relaties tussen getallen en getallengroepen. Ze verdedigen hun theorieën met axioma's (eerder vastgestelde beweringen verondersteld waar te zijn) en stellingen (verklaringen gebaseerd op andere stellingen of axioma's).

De eerste stap in het bouwen van een glimmende, nieuwe, wiskundige theorie, echter, is het stellen van een theoretische vraag over nummerrelaties. Kan de som van twee kubussen bijvoorbeeld een kubus zijn? Denk aan de Pythagorean triples van de vorige pagina? Deze trio's van drie getallen, zoals (3, 4, 5), lossen de vergelijking a op2 + b2 = c2. Maar hoe zit het met een3 + b3 = c3? Wiskundige Pierre de Fermat stelde dezelfde vraag over kubussen en in 1637 beweerde hij dat hij een wiskundig probleem had uitgewerkt bewijs dat, via regel na lijn van nauwgezette logica, zonder enige twijfel aantoonde dat nee, de som van twee kubussen geen kubus kan zijn. We noemen dit De stelling van Fermat. Helaas schreef Fermat in plaats van het volledige bewijs in zijn aantekeningen te geven: "Ik heb echt een geweldige demonstratie van deze propositie waarvan deze marge te beperkt is om te bevatten" [bron: NOVA].

Meer dan drie en een halve eeuw volgden, terwijl wiskundigen over de hele wereld tevergeefs probeerden het bewijs van Fermat te herontdekken. Wat reed op deze zoektocht? Niets, behalve academische trots en de liefde voor pure, abstracte wiskunde. In 1993 slaagde de Engelse wiskundige Andrew Wiles erin om in 1993 de 356-jaar oude stelling te bewijzen, met behulp van rekenkundige wiskunde die nog niet was ontdekt in de tijd van Fermat. Deskundigen blijven betwisten of Fermat zo'n fenomenaal bewijs in zijn pre-computertijdperk heeft uitgewerkt, of dat hij zich vergiste.

Andere vragen in de getaltheorie hebben betrekking op verschillende waargenomen of theoretische patronen in getallen of getallengroepen. Het begint allemaal met dat meest cruciale aspect van intelligent denken: patroonherkenning. Brown University wiskunde professor Joseph H. Silverman beschrijft vijf basisstappen in de getaltheorie:

  • Verzamel wiskundige of abstracte gegevens.
  • Bestudeer de gegevens en zoek naar patronen of relaties.
  • Formuleer een vermoeden (meestal in de vorm van een vergelijking) om deze patronen of relaties uit te leggen.
  • Test het vermoeden met extra gegevens.
  • Bedenk een bewijs dat het vermoeden juist is. Het bewijs moet beginnen met bekende feiten en eindigen met het gewenste resultaat.

De laatste stelling van Fermat was daarom echt een vermoeden gedurende 356 jaar en werd pas echt een stelling in 1993. Anderen, zoals Euclid's Proof of Infinite Primes (wat bewijst dat priemgetallen onbeperkt zijn), is een solide model gebleven van wiskundig redeneren sinds 300 v.Chr Nog steeds andere getaltheorieën, zowel oude als nieuwe, blijven ongevoelig.

Nummers zijn zo oneindig als het menselijk begrip eindig is, dus de getaltheorie en de verschillende subvelden zullen de geest van wiskunde liefhebbers nog eeuwenlang blijven boeien. Oude problemen kunnen vallen, maar nieuwe en meer gecompliceerde vermoedens zullen stijgen.

Verken de links op de volgende pagina voor meer informatie over wiskunde.

Opkomende toepassingen

Grotendeels blijft de getaltheorie een puur abstract gebied van wiskundig onderzoek, maar er bestaan ​​toepassingen op het gebied van cryptografie, waarbij getaltheorie eenvoudige maar zeer veilige codes kan creëren. Andere toepassingsgebieden zijn digitale informatieverwerking, computergebruik, akoestiek en kristallografie.

bronnen

  • LeVeque, William J. "Elementary Theory of Numbers." Dover Publications, Inc. 1990.
  • Silverman, Joseph H. "Een vriendelijke inleiding tot getaltheorie." 1997. Prentice Hall.
  • "Fermat oplossen: Andrew Wiles." NOVA Online. November 2000. (9 juni 2011) //pbs.org/wgbh/nova/proof/wiles.html


Video Supplement: Wat zijn priemgetallen?.




WordsSideKick.com
Alle Rechten Voorbehouden!
Reproductie Van Materialen Toegestaan Alleen Prostanovkoy Actieve Link Naar De Site WordsSideKick.com

© 2005–2019 WordsSideKick.com