Topologie is een tak van de wiskunde die wiskundige ruimten beschrijft, met name de eigenschappen die voortvloeien uit de vorm van een ruimte. Veel van de vormen waar topologen mee te maken hebben zijn ongelooflijk vreemd, zozeer zelfs dat vrijwel alle alledaagse objecten zoals kommen en huisdieren en bomen een kleine minderheid vormen. Het woord "topologie" is afgeleid van de Griekse woorden voor plaats (topos) en studeer (-logy).
Topologie is belangrijk als gids in verschillende studiegebieden:
Een topoloog bestudeert eigenschappen van vormen, in het bijzonder degene die worden behouden nadat een vorm is gedraaid, uitgerekt of vervormd. Deze lijst met toegestane wijzigingen past allemaal onder een wiskundig idee dat bekend staat als continue vervorming, wat ruwweg betekent "uitrekken, maar niet scheuren of samenvoegen". Een cirkel kan bijvoorbeeld worden getrokken en uitgerekt tot een ellips of iets complexs zoals de omtrek van een handafdruk. Scheuren en samenvoegen veroorzaken wat bekend staat als discontinuïteiten, dus ze zijn niet toegestaan.
Twee objecten die in dezelfde vorm kunnen worden uitgerekt, worden beschreven als homeomorphic, van Latinized Greek voor "similar to" (homeostatisch) en Grieks "vorm, vorm of figuur" (morphe). Door deze lens zijn vrijwel alle alledaagse objecten homeomorf met een bol (een bal) of een variëteit van torus (een doughnut).
Sommige takken van de topologie laten een object door terwijl het uitgerekt wordt; anderen doen niet. Wanneer je een oppervlakte overweegt dat kan zelf passeren, is het belangrijk om een oppervlak niet oneindig strak te knijpen, omdat dit ook discontinuïteiten toevoegt. Dit wordt meestal aangetroffen wanneer een oppervlak terug op zichzelf wordt verdubbeld, bijvoorbeeld wanneer je een bol binnenstebuiten probeert te draaien (wat moeilijk is, maar mogelijk).
Een voorbeeld van een eigenschap die niet verandert onder continue vervorming, is die van een object Euler-kenmerk, genoemd naar Leonhard Euler, een 18th-eeuwse Duitse wiskundige.
Om de Euler-eigenschap van een object te demonstreren, nemen we eerst een bol (of een object dat thuisomorf is met een bol, zoals een menselijk hoofd) en betegelen we het oppervlak met polygonen. Vervolgens tellen we het aantal gezichten (zijden), randen (plaatsen waar twee zijden samenkomen) en hoekpunten (plaatsen waar drie of meer zijden samenkomen). Voeg nu het aantal vlakken (F) en hoekpunten (V) toe en trek het aantal randen (E) af: F + V - E. Het maakt niet uit hoe u het oppervlak opsplitst; het antwoord zal altijd hetzelfde zijn: twee. Omdat de vijf platonische lichamen (de 3-D-vormen gemaakt van één soort regelmatige veelhoek) allemaal homomorf zijn voor een bol, hebben ze ook allemaal een Euler-karakteristiek van twee.
We kunnen begrijpen waarom het Euler-kenmerk behouden blijft als we nadenken over wat het betekent om een rand of vertex toe te voegen. Als u een rand tussen twee hoekpunten toevoegt, wordt het ene vlak in twee gedeeld: het aantal randen neemt toe, het aantal neemt toe en het aantal vertices blijft hetzelfde. Op dezelfde manier splitst een hoekpunt langs een rand de rand in tweeën: randen nemen toe, hoekpunten nemen toe, en vlakken blijven hetzelfde.
Plak nu het oppervlak van een torus, tel F, V en E, en je krijgt een Euler-karakteristiek van nul. Hier is een voorbeeld:
Met een dubbele torus is de Euler-karakteristiek negatief twee; voor een drievoudige torus, negatieve vier. Elke extra opening vermindert de Euler-karakteristiek met twee.
Eén ding waar alle vormen die we tot nu toe over hebben gehad gemeen hebben, is dat ze zouden zijn richtbare. Dit betekent dat een bug die op het buitenoppervlak loopt altijd aan de buitenkant blijft; Hetzelfde geldt voor de binnenkant. Er zijn ook non-richtbare oppervlakken, wat betekent dat een bug die ronddwaalt op het oppervlak aan beide kanten terecht kan komen. Het bekendste voorbeeld hiervan is de Mobius strip (die een Euler-karakteristiek heeft van nul, EC = 0).
Hoewel taal zoals "beide kanten van een Mobius-strip" nuttig is voor de introductie van het concept, druist het in tegen de geest van een topoloog, die zegt dat elk oppervlak tweedimensionaal is, evenals de wezens die er wonen. Door deze lens is het handiger om te denken aan een 2-D bug die in het oppervlak zelf leeft. Voor een oriënteerbaar oppervlak zijn er rechtshandige bugs en linkshandige bugs, maar voor een niet-richtbaar oppervlak zijn rechts- en linkshandige bugs niet te onderscheiden. Dit benadrukt dat de Mobius-strip een ruimte vertegenwoordigt en dat we geïnteresseerd zijn in de eigenschappen die voortvloeien uit de vorm van de ruimte.
Met dit perspectief van oppervlakken 2D zijn, is het handig om de topologische ruimten in termen van hun weer te geven fundamentele polygonen. Als u het tweedimensionale oppervlak van een fundamentele polygoon wilt omzetten in een 3D-object, strek dan het oppervlak zo uit dat de overeenkomstige zijden samenkomen in de richting die wordt aangegeven door de pijlen. Zoals te zien is, maakt het samenvoegen van parallelle zijden een cilinder (EC = 0), en het verbinden van antiparallelle lijnen maakt een Mobius-strook (EC = 0).
Een 2D-bug die de grens van een fundamentele polygoon verlaat en deze afloopt, wordt naar de andere grens getransporteerd en op dezelfde manier georiënteerd in vergelijking met de richting van de pijl. Of de bug hetzelfde blijft of flips geeft aan of het oppervlak oriënteerbaar of niet-richtbaar is. Een 2-D bug mag geen gestippelde grens overschrijden.
De eerste vormen waarover we spraken hebben ook fundamentele polygonen. Om een torus te maken, maakt u eerst een cilinder en strekt u de uiteinden van de cilinder uit totdat ze elkaar raken. Om een bol te maken, vouwt u het vel van hoek naar hoek om een driehoekige envelop te maken en blaast u het vervolgens op totdat het bolvormig is.
De gestippelde randen van een Mobius-strip kunnen op twee verschillende manieren worden gecombineerd om twee niet-richtbare oppervlakken te genereren: een Klein Bottle (EC = 0) kan worden gezien als een kruising tussen een Mobius-strip en een cilinder, en een cross-capped schijf (EC = 1) kan worden gezien als het kruis tussen twee Mobius-strips. Net als bij de Mobius-strip kunnen we, als er een derde dimensie is om deze kaart in te pakken, een idee krijgen van de algemene "vorm" van de ruimte. Beide constructies vereisen dat het oppervlak door zichzelf mag passeren. Een 2-D bug zou zo'n kruising niet opmerken; alleen dat de wereld wordt "omgedraaid" na het nemen van bepaalde paden in de 2D-ruimte.
Topologie bestaat nog maar een paar eeuwen, maar heeft al een rijke geschiedenis van problemen en subvelden die elk een eigen verhaal hebben.
Extra middelen
👉 Topologie (Oudgrieks topos (τόπος), "plaats," en logos (λόγος), "studie") is de tak van de wiskunde die zich bezighoudt met eigenschappen van de ruimte die bewaard blijven bij continue vervorming (de objecten mogen niet worden gescheurd of geplakt).
👉 De fysieke netwerktopologie bepaalt de plaatsing van knooppunten en hun onderlinge verbindingen. De logische topologie beschrijft de wijze waarop gegevens tussen diverse knooppunten worden overgedragen. Deze knooppunten bestaan uit verschillende apparaten, zoals schakelaars en servers.
👉 Netwerktopologieën zijn ring, ster, bus, mesh, boom en meer. Wat uw netwerkbehoeften ook zijn, deze types kunnen worden gebruikt of aangepast om u te helpen de netwerknormen van uw organisatie te bereiken.
👉 Fysiek: Dit type netwerkdiagram toont de werkelijke fysieke relatie tussen de apparaten/componenten die het netwerk maken. Logisch: Dit soort diagram laat zien hoe de apparaten met elkaar communiceren en hoe de informatie door het netwerk stroomt.
👉 Fysieke topologie verwijst naar het fysieke ontwerp van het netwerk, terwijl logische topologie verwijst naar hoe gegevens binnen het netwerk worden behandeld, ongeacht de fysieke topologie.
👉 Wie is je netwerk? Iedereen die je kent of hebt gekend, is je netwerk. Belangrijk is wel dat zij een positieve indruk van je hebben, anders zal het niet in je voordeel werken. Enkele voorbeelden zijn je vrienden, familie, sportgenoten, docenten, klanten en collega's.
Topologie is een tak van de wiskunde die wiskundige ruimten beschrijft, met name de eigenschappen die voortvloeien uit de vorm van een ruimte.